有限图上广义自对偶Chern-Simons方程解的存在性

设$G=(V,E)$为连通有限图。我们研究$G$上如下广义Chern-Simons方程解的存在性 \begin{equation*} \Delta u=\lambda \mathrm{e}^{u}\left(\mathrm{e}^{u}-1\right)^{5}+4 \pi \sum_{s=1}^{N} \delta_{p_{s}} \quad , \end{equation*} 其中$\lambda>0$，$\delta_{p_{s}}$为顶点$p_s$处的狄拉克质量，$p_1, p_2,\dots, p_N$为图上任意选取的互异顶点。我们证明存在临界值$\hat{\lambda}$，使得当$\lambda > \hat{\lambda}$时，广义Chern-Simons方程至少有两解；当$\lambda = \hat{\lambda}$时，广义Chern-Simons方程有一解；当$\lambda < \hat\lambda$时，广义Chern-Simons方程无解。