关于 ${\bf G}_2$ Chern-Simons 系统的非拓扑解

对于任意秩为 2 的简单 Lie 代数，相对论性 Chern-Simons 系统具有如下形式：\begin{equation}\label{e001} \left\{\begin{array}{c} \Delta u_1+(\sum_{i=1}^2K_{1i}e^{u_i} -\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2e^{u_i}K_{1i}e^{u_j}K_{ij})=4\pi\displaystyle \sum_{j=1}^{N_1}\delta_{p_j}\\ \Delta u_2+ (\sum_{i=1}^2K_{2i}e^{u_i}-\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2e^{u_i}K_{2i}e^{u_j}K_{ij})=4\pi\displaystyle \sum_{j=1}^{N_2}\delta_{q_j} \end{array} \right.\mbox{in}\; \mathbb{R}^2, \end{equation} 其中 $K$ 为秩 2 的 Cartan 矩阵。秩 2 的 Cartan 矩阵有三种：${\bf A}_2$、${\bf B}_2$ 和 ${\bf G}_2$。关于 \eqref{e001} 的一个长期未决开放问题是其非拓扑解的存在性。在先前的工作 \cite{ALW} 中，我们已证明了 ${\bf A}_2$ 和 ${\bf B}_2$ Chern-Simons 系统非拓扑解的存在性。本文继续探讨 ${\bf G}_2$ 情形。我们证明了在条件 $N_2\displaystyle\sum_{j=1}^{N_1} p_j=N_1\displaystyle \sum_{j=1}^{N_2} q_j$ 或 $N_2\displaystyle\sum_{j=1}^{N_1}p_j \not =N_1\displaystyle \sum_{j=1}^{N_2} q_j$ 且 $N_1,N_2>1$，$|N_1-N_2|\neq 1$ 下，非拓扑解的存在性。我们通过对具有一个奇异源的相应 ${\bf G}_2$ Toda 系统进行扰动解决了这一问题。结合 \cite{ALW}，我们已证明了具有秩 2 Cartan 矩阵的 Chern-Simons 系统非拓扑解的存在性。