有限图上 Chern-Simons Higgs 模型的 Brouwer 度

设 $G=(V, E)$ 为有限连通图，其中 $V$ 表示顶点集合，$E$ 表示边集合。我们重访以下Chern-Simons Higgs模型：\n\begin{equation*} \Delta u=\lambda \mathrm{e}^u\left(\mathrm{e}^u-1\right)+f \ \text {在} \ V, \end{equation*}其中 $\Delta$ 为图的拉普拉斯算子，$\lambda$ 为实数，$f$ 为定义在 $V$ 上的函数。首先，当 $\lambda \int_V f \mathrm{d} \mu \neq 0$ 时，我们发现图中顶点数的奇偶性会影响解的个数。随后通过计算拓扑度并利用该度与相关函数临界群之间的关系，我们获得多个解的存在性。我们还研究了当 $\lambda \int_V f \mathrm{d} \mu=0$ 时的解的存在性。这些结果扩展了Huang等人[Comm Math Phys 377:613-621 (2020)]、Hou与Sun[Calc Var 61:139 (2022)]以及Li等人[Calc Var 63:81 (2024)]的工作。对于推广的Chern-Simons Higgs模型，我们获得相同结果。此外，我们还将该方法应用于Chern-Simons Higgs系统，仅得出多个解存在性的部分结果。鉴于本文首次证明图上方程可具有至少三个互不相同的解，我们认为这些结果对研究类似图上方程的解的个数具有重要意义。