图上 Chern-Simons-Higgs 方程解的存在性

设 $G=(V,E)$ 为一个有限图。我们考虑广义 Chern-Simons-Higgs 方程 $$\Delta u=-\lambda e^{g(u)}\left( e^{g(u)}-1\right)^2+4\pi\sum\limits_{j=1}^{N}\delta_{p_j}$$ 在 $G$ 上解的存在性，其中 $\lambda$ 为正常数；$g(u)$ 是 $u=f(\upsilon)=1+\upsilon-e^{\upsilon}$ 在 $(-\infty, 0]$ 上的反函数；$N$ 为正整数；$p_1, p_2, \cdot\cdot\cdot, p_N$ 是 $V$ 中互不相同的顶点，$\delta_{p_j}$ 为 $p_j$ 处的 Dirac delta 质量。我们证明存在临界值 $\lambda_c$，使得广义 Chern-Simons-Higgs 方程有解当且仅当 $\lambda\geq \lambda_c$。我们还证明了当 $\lambda$ 取临界值 $\lambda_c$ 时，Chern-Simons-Higgs 方程 $$\Delta u=\lambda e^{u}(e^{u}-1)+4\pi\sum\limits_{j=1}^{N}\delta_{p_j}$$ 在 $G$ 上解的存在性，从而完善了 An Huang、Yong Lin 和 Shing-Tung Yau（Commun. Math. Phys. 377, 613-621 (2020)）的结果。