负情形下图上的 Kazdan-Warner 方程

设 $G=(V,E)$ 为一连通有限图。在这篇短文中，我们重新研究了 $G$ 上 $c<0$ 时的 Kazdan-Warner 方程 $$\Delta u=c-he^u$$，其中定义在 $V$ 上的 $h$ 是已知函数。Grigor'yan、Lin 和 Yang \cite{GLY} 证明了：若 Kazdan-Warner 方程有解，则 $h$ 的平均值 $\overline{h}$ 为负。反之，若 $\overline{h}<0$，则存在一个数 $c_-(h)<0$，使得 Kazdan-Warner 方程对任意 $0>c>c_-(h)$ 可解，而对 $c<c_-(h)$ 不可解。此外，若 $h\leq0$ 且 $h\not\equiv0$，则 $c_-(h)=-\infty$。受 Chen 和 Li 的工作 \cite{CL} 启发，我们自然地提出：\begin{center} Kazdan-Warner 方程在 $c=c_-(h)$ 时是否可解？\end{center} 本文对该问题给出了肯定回答。我们证明：若 $c_-(h)=-\infty$，则 $h\leq0$ 且 $h\not\equiv0$。此外，若 $c_-(h)>-\infty$，则 $c=c_-(h)$ 时的 Kazdan-Warner 方程至少存在一个解。