关于格图上 Kazdan-Warner 方程的有限能量解

我们研究了二维整数格图 $\mathbb{Z}^2$ 上 Kazdan-Warner 型方程 $$- \Delta u= \varepsilon e^{\kappa u} +\beta\delta_0\quad {\rm in}\ \mathbb{Z}^2,$$ 的有限能量解，其中 $\varepsilon=\pm1$, $\kappa>0$ 且 $\beta\in\mathbb{R}$。当 $\varepsilon=1$ 时，我们证明了对某些参数 $\kappa$，存在一个连续的有限能量解族。这为 Liouville 方程有限能量解存在性这一公开问题提供了部分解答。当 $\varepsilon=-1$ 且 $\beta>\frac{4\pi}{\kappa}$ 时，我们证明了有限能量解的集合呈现出层状结构。此外，我们推导出了该情形下的极值解。