有限图上平均场方程的热流

受 Castéras (Pacific J. Math., 2015)、Li-Zhu (Calc. Var., 2019) 和 Sun-Zhu (Calc. Var., 2020) 工作的启发，我们在一个连通有限图 $G=(V,E)$ 上提出了平均场方程的一个热流。即 $$\left\{\begin{array}{lll} \partial_t\phi(u)=\Delta u-Q+\rho \frac{e^u}{\int_Ve^ud\mu}\\[1.5ex] u(\cdot,0)=u_0, \end{array}\right.$$ 其中 $\Delta$ 是标准图拉普拉斯算子，$\rho$ 是一个实数，$Q:V\rightarrow\mathbb{R}$ 是一个满足 $\int_VQd\mu=\rho$ 的函数，而 $\phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 是某些光滑函数之一，包括 $\phi(s)=e^s$。我们证明，对于任意初始数据 $u_0$ 和任意 $\rho\in\mathbb{R}$，上述热流存在唯一解 $u:V\times[0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$；此外，当 $t\rightarrow+\infty$ 时，$u(x,t)$ 关于 $x\in V$ 一致收敛到某个函数 $u_\infty:V\rightarrow\mathbb{R}$，并且 $u_\infty$ 是平均场方程 $$\Delta u_\infty-Q+\rho\frac{e^{u_\infty}}{\int_Ve^{u_\infty}d\mu}=0$$ 的一个解。尽管 $G$ 是一个有限图，这个结果仍然是出人意料的，即使在特殊情形 $Q\equiv 0$ 下也是如此。我们的方法如下：热流的短时间存在性由常微分方程理论得出；各种积分估计给出了其长时间存在性；此外，我们建立了一个 Łojasiewicz-Simon 型不等式，并利用它来得出热流的收敛性。