关于平均曲率流孤子方程的一个注记

在这篇短文中，我们考虑高余维图形平均曲率流的自相似浸入 $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n+k}$。我们证明如下结论：设 $F(x) = (x,f(x)), x \in \mathbb{R}^{n}$ 为孤子方程 $$\bar{H}(x) + F^{\bot}(x) = 0.$$ 的一个图解。假设 $\sup_{\mathbb{R}^{n}}|Df(x)| \le C_{0} < + \infty$。则存在唯一的光滑函数 $f_{\infty}: \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^k$ 使得 $$f_{\infty}(x) = \lim_{\lambda \to \infty}f_{\lambda}(x)$$ 且对任意实数 $r\not= 0$ 有 $$f_{\infty}(r x)=r f_{\infty}(x),$$ 其中 $$f_{\lambda}(x) = \lambda^{-1}f(\lambda x).$$