平均曲率流的 Gauss 映射

设 $F:\Sigma^n \times [0,T)\to \R^{n+m}$ 为一族由平均曲率向量驱动的紧致浸入子流形。我们证明 Gauss 映射 $\gamma:(\Sigma^n, g_t)\to G(n, m)$ 关于依赖于时间的诱导度量 $g_t$ 构成一调和热流。这为研究高余维平均曲率流提供了更具系统性的方法。一个直接推论是 $G(n,m)$ 上的任意凸函数均产生 $(\Sigma, g_t)$ 上非线性热方程的一个下解。我们还证明 Gauss 映射的像落在 $G(n, m)$ 的全测地子流形中之条件被平均曲率流保持。由于 Lagrangian 子空间的空间在 G(n,n) 中是全测地的，这给出了任意 Lagrangian 子流形沿平均曲率流保持为 Lagrangian 的另一种证明。