图运算与关于路、圈和匹配的各类Turán型问题的统一方法

设$G$是一个连通图，$\mathcal{P}(G)$是一个图参数。如果$\mathcal{P}(G)$满足以下性质，则称$\mathcal{P}(G)$是可行的：(I) 对于任意$u,v$，若$G_{uv}=G[u\to v]$，则$\mathcal{P}(G)\leq \mathcal{P}(G_{uv})$，其中$G_{uv}$是通过对$u$到$v$应用Kelmans运算得到的图；(II) 对于任意边$e\notin E(G)$，有$\mathcal{P}(G) <\mathcal{P}(G+e)$。设$P_k$是阶为$k$的路，$\mathcal{C}_{\geq k}$是所有长度至少为$k$的圈的集合，$M_{k+1}$是包含$k+1$条独立边的匹配。本文主要证明了以下三个结果：(i) 设$n\geq k\geq 5$且$t=\left\lfloor\frac{k-1}{2}\right\rfloor$。设$G$是一个$n$顶点、$2$-连通、无$\mathcal{C}_{\geq k}$且使$\mathcal{P}(G)$最大的图，其中$\mathcal{P}(G)$是可行的。那么，$G\in \mathcal{G}^1_{n,k}=\{W_{n,k,s}=K_{s}\vee ((n-k+s)K_1\cup K_{k-2s}): 2\leq s\leq t\}$。(ii) 设$n\geq k\geq 4$且$t=\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor-1$。设$G$是一个$n$-顶点、连通、无$P_{k}$且使$\mathcal{P}(G)$最大的图，其中$\mathcal{P}(G)$是可行的。那么，$G\in \mathcal{G}^2_{n,k}=\{W_{n,k-1,s}=K_{s}\vee ((n-k+s+1)K_1\cup K_{k-2s-1}): 1\leq s\leq t\}$。(iii) 设$G$是一个$n$-顶点、连通、无$M_{k+1}$且使$\mathcal{P}(G)$最大的图，其中$\mathcal{P}(G)$是可行的。那么，当$n=2k+1$时，$G\cong K_n$；当$n\geq 2k+2$时，$G\in \mathcal{G}^3_{n,k}=\{K_s\vee ((n-2k+s-1)K_1\cup K_{2k-2s+1}):1\leq s\leq k\}$。从这三个主要结果直接推导，我们在Turán型问题、广义Turán型问题、极值图论中图度幂次问题，以及谱图论中与谱半径和无符号拉普拉斯谱半径相关的问题中获得了一系列应用。