图上非线性薛定谔方程基态解的收敛性

我们考虑局部有限图 $G=(V,E)$ 上的非线性薛定谔方程 $-\Delta u+(\lambda a(x)+1)u=|u|^{p-1}u$。我们通过 Nehari 方法证明，若 $a(x)$ 满足某些假设，则对任意 $\lambda>1$，该方程存在基态解 $u_\lambda$。此外，当 $\lambda\rightarrow \infty$ 时，解 $u_\lambda$ 收敛到定义在势阱 $\Omega$ 上的 Dirichlet 问题 $-\Delta u+u=|u|^{p-1}u$ 的解。我们还提供了一个数值实验，在有限图上求解该方程以说明我们的结果。