Jordan-Moore-Gibson-Thompson 方程中的 $L^\infty$ 爆破

在具有光滑边界的有界域 $\Omega \subset\mathbb{R}^n$（其中 $n\leq 3$）中考虑 Jordan-Moore-Gibson-Thompson 方程 $$\tau u_{ttt} + \alpha u_{tt} = \beta \Delta u_t + \gamma \Delta u + (f(u))_{tt}$$，其中 $\tau>0,\beta>0,\gamma>0$，且 $\alpha\in\mathbb{R}$。首先，可以看出，在假设 $f\in C^3(\mathbb{R})$ 满足 $f(0)=0$ 的条件下，梯度爆破现象不会发生，其意义在于：对于任何适当正则的初始数据，在合适的强可解性框架内，一个相关的狄利克雷型初边值问题在最大时间区间 $(0,T_{max})$ 上存在唯一解 $u$，该解满足 \mbox{若 $T_{max}<\infty$，则 } \limsup_{t\nearrow T_{max}} \|u(\cdot,t)\|_{L^\infty(\Omega)}=\infty。 其次，利用这一点来确保，如果额外假设 $f$ 是凸的且以超线性方式增长，即满足 f''\ge 0 \mbox{ 在 $\mathbb{R}$ 上，} \qquad \frac{f(\xi)}{\xi} \to +\infty \mbox{ 当 $\xi\to +\infty$ 时} \qquad \mbox{且} \qquad \int_{\xi_0}^\infty \frac{d\xi}{f(\xi)} < \infty \mbox{ 对某个 $\xi_0>0$ 成立，} 那么对于某些初始数据，上述解必定会经历如上所述的有限时间 $L^\infty$ 爆破。