无界区域上 Hamilton-Jacobi 方程中的爆破现象

我们构造了一个极小加线性算子流中出现爆破的例子，该算子流作为 Hamilton-Jacobi 方程 $\dot{x}=H(x,t,p)$ 的解算子出现，其哈密顿量形如 $|p|^\alpha+U(x,t)$，其中 $\alpha>1$ 且势能 $U(x,t)$ 与其梯度一致有界。该构造基于如下事实：对于定义于长度为 $T$ 的时间区间上的合适势能，拉格朗日极小元的速率绝对值可大至 $O((\log T)^{2-2/\alpha})$。我们还证明这一增长估计不可被超越。讨论了该例子对随机强迫 Hamilton-Jacobi 或 Burgers 方程整体广义解存在性的启示。