具有退化扩散的 Hamilton-Jacobi 方程的适定性及边界附近的梯度爆破估计

本文关注有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ 中具有 Dirichlet 边界条件的退化粘性 Hamilton-Jacobi 方程 $$\partial_t u-\Delta_p u=|\nabla u|^q,$$ 的弱解，其中 $p>2$ 且 $q>p-1$。旨在研究该问题的梯度爆破现象，我们首先在 $W^{1, \infty}$ 范数下建立了具有爆破择一性的局部适定性。随后，我们获得了涉及距边界距离的精确梯度估计。该估计特别表明，梯度爆破仅可能发生在边界上。此外，还获得了关于 $u_t$ 的正则化效应。