抛物型标量曲率方程中的爆破

\textit{抛物型标量曲率方程}是定义在 $(n-1)$-维流形 $\Sigma$ 上的一类反应 - 扩散型方程，其时间变量记为 $r$。给定 $[r_0,r_1)\times\Sigma$ 上的函数 $R$ 和 $\Sigma$ 上的一族度量 $\gamma(r)$，当该方程的系数用 $\gamma$ 和 $R$ 适当定义时，其正解给出了 $[r_0,r_1)\times\Sigma$ 上具有预设标量曲率 $R$ 的度量，形式为 $$g=u^2dr^2+r^2\gamma.$$ 如果 $r^2\gamma$ 的面积元随 $r$ 增加而扩张，则该方程为抛物型，其基本存在性问题是在某个 $r=r_0$ 处取正初始数据，并在最大存在区间上求解 $u$，上述讨论中隐含假设该区间为 $I=[r_0,r_1)$；人们通常希望 $r_1=\infty$。然而，最具物理意义的情形 $R>0$ 往往导致有限时间内发生爆破，使得 $r_1<\infty$。本研究旨在探讨这样一种情形：尽管发生了爆破，但 $g$ 仍可连续延拓至 $\bar M=[r_0,r_1]\times\Sigma$，使其成为一个在 $r=r_1$ 处具有全测地外边界的流形。