奇异 Gierer-Meinhardt 系统影子极限模型的扩散诱导爆破解

在本文中，我们深入研究了下述非局部问题解由扩散诱导的爆破行为 \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcl} \partial_t u &=& \Delta u - u + \displaystyle{\frac{u^p}{ \left(\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int}\nolimits_\Omega u^r dr \right)^\gamma }}\quad\text{in}\quad \Omega \times (0,T), \[0.2cm] \frac{ \partial u}{ \partial \nu} & = & 0 \text{ on } \Gamma = \partial \Omega \times (0,T),\\ u(0) & = & u_0, \end{array} \right. \end{equation*} 其中 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^N$ 中具有光滑边界 $\partial \Omega$ 的有界域；该问题作为奇异 Gierer-Meinhardt 系统的影子极限导出，参见 \cite{KSN17, NKMI2018}。在 Turing 型条件 $$\frac{r}{p-1} < \frac{N}{2}, \gamma r \ne p-1,$$ 下，我们构造了一个在有限时间内且仅在 $\Omega$ 的内点 $x_0$ 处爆破的解，即 $$u(x_0, t) \sim (\theta^*)^{-\frac{1}{p-1}} \left[\kappa (T-t)^{-\frac{1}{p-1}} \right],$$ 其中 $$\theta^* := \lim_{t \to T} \left(\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int}\nolimits_\Omega u^r dr \right)^{- \gamma} \text{ 且 } \kappa = (p-1)^{-\frac{1}{p-1}}.$$ 更精确地，我们还给出了爆破点处最终渐近轮廓的描述 $$u(x,T) \sim ( \theta^* )^{-\frac{1}{p-1}} \left[ \frac{(p-1)^2}{8p} \frac{|x-x_0|^2}{ |\ln|x-x_0||} \right]^{ -\frac{1}{p-1}} \text{ 当 } x \to 0,$$ 从而揭示了该情形下由驱动-扩散不稳定性所产生的 Turing 图案的形式。前述爆破解构造所采用的技术主要依赖于 \cite{MZnon97} 与 \cite{DZM3AS19} 中发展的方法。