涉及 $L^n$ 范数的各向异性 Moser-Trudinger 不等式

本文研究涉及 $L^{n}$ 范数的各向异性 Moser-Trudinger 不等式的尖锐形式。令\n\begin{equation*} \lambda_{1}(\Omega) = \inf_{u\in W_0^{1,n}(\Omega),u\not\equiv 0} ||F(\nabla u)||_{L^n(\Omega)}^n / ||u||_{L^n(\Omega)}^n \end{equation*}\n为与 $n$-Finsler-Laplacian 相关的第一特征值。利用爆破分析，我们得到\n\begin{equation*} \sup_{u\in W_{0}^{1,n}(\Omega),||F(\nabla u)||_{L^n(\Omega)} = 1} \int_{\Omega}e^{\lambda_n (1+\alpha||u||_{L^n (\Omega)}^n)^{\frac{1}{n-1}} |u|^{\frac{n}{n-1}}}dx \end{equation*}\n对任意 $0\leq \alpha<\lambda_{1}(\Omega)$ 有限，且对任意 $\alpha\geq \lambda_{1}(\Omega)$ 上确界为无穷，其中 $\lambda_{n} = n^{\frac{n}{n-1}} \kappa_n^{\frac{1}{n-1}}$（$\kappa_{n}$ 为单位 Wulff 球的体积），函数 $F$ 为正、凸且一次齐次的，其对偶 $F^o$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 上的 Finsler 度量。此外，对任意 $0\leq \alpha<\lambda_{1}(\Omega)$ 该上确界可达到。