四维空间中的尖锐 Adams 不等式及其极值函数

设 $\Omega$ 为 $\mathbb R^4$ 中的光滑有界定向区域，$H_0^2(\Omega)$ 为 Sobolev 空间，$\lambda_1(\Omega)= \inf \{\|\Delta u\|_2^2 : u\in H_0^2(\Omega), \|u\|_2 =1\}$ 为 $\Omega$ 上双拉普拉斯算子 $\Delta^2$ 的第一特征值。对 $\alpha \in [0,\lambda_1(\Omega))$，我们定义 $\|u\|_{2,\alpha}^2 = \|\Delta u\|_2^2 - \alpha \|u\|_2^2$，其中 $u \in H_0^2(\Omega)$。本文中，我们将证明如下不等式 $$\sup_{u\in H_0^2(\Omega),\, \|u\|_{2,\alpha} \leq 1} \int_{\Omega} e^{32 \pi^2 u(x)^2} dx < \infty.$$ 这加强了 Lu 和 Yang \cite{LuYang} 的近期结果。我们还证明了存在函数 $u^*\in H_0^2(\Omega)\cap C^4(\overline{\Omega})$ 使得 $\|u^*\|_{2,\alpha} =1$ 且上述上确界由 $u^*$ 达到。我们的证明基于爆破分析方法。