R^4 中的尖锐迹 Adams 不等式与极值函数的存在性

设 $\Omega\subseteq \mathbb{R}^{4}$ 为具有光滑边界 $\partial\Omega$ 的有界域。本文中，我们建立了在零均值与零诺伊曼边界条件下 $W^{2,2}(\Omega)$ 中迹 Adams 不等式的如下尖锐形式：\begin{equation*} S({\alpha})=\underset{\int_{\Omega}udx=0,\frac{\partial u}{\partial\nu}|_{\partial\Omega}=0,\Vert\Delta u\Vert_{2}\leq{1}}{\underset {u\in{W^{2,2}(\Omega)\setminus\{0\}}}{\sup}}\int_{\partial \Omega} e^{\alpha u^{2}}d\sigma<\infty \end{equation*} 成立当且仅当 $\alpha\leq12\pi^2$。此外，我们证明了对半空间 $\mathbb{R}^4_{+}$ 上一类双调和方程非线性边值问题解的分类定理。借助该分类结果，我们利用爆破分析与容度估计证明了 $S({12\pi^2})$ 可被取到。作为应用，我们证明了一般四维光滑边界有界域上的尖锐迹 Adams-Onofri 型不等式。