四维 Adams 不等式的极值函数

设 $\Omega\subset \mathbb{R}^4$ 为光滑有界域，$W_0^{2,2}(\Omega)$ 为通常的 Sobolev 空间。对任意正整数 $\ell$，$\lambda_{\ell}(\Omega)$ 为双拉普拉斯算子的第 $\ell$ 个特征值。定义 $E_{\ell}=E_{\lambda_1(\Omega)}\oplus E_{\lambda_2(\Omega)}\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_{\ell}(\Omega)}$，其中 $E_{\lambda_i(\Omega)}$ 为对应于 $\lambda_i(\Omega)$ 的特征函数空间。$E^{\bot}_{\ell}$ 表示 $E_\ell$ 在 $W_0^{2,2}(\Omega)$ 中的正交补。对 $0\leq\alpha<\lambda_{\ell+1}(\Omega)$，我们定义范数 $\|u\|_{2,\alpha}^{2}=\|\Delta u\|^2_2-\alpha \|u\|^2_2$（$u\in E^\bot_{\ell}$）。本文利用爆破分析证明如下 Adams 不等式：$$\sup_{u\in E_{\ell}^{\bot},\,\| u\|_{2,\alpha}\leq 1}\int_{\Omega}e^{32\pi^2u^2}dx<+\infty;$$ 此外，上述上确界可由某个 $u_0\in E_{\ell}^{\bot}\cap C^4(\overline{\Omega})$ 且 $\|u_0\|_{2,\alpha}=1$ 的函数取到。该结果推广了 Yang（J. Differential Equations, 2015）的结论，并补充了 Lu 与 Yang（Adv. Math. 2009）以及 Nguyen（arXiv: 1701.08249, 2017）的结果。