四维双曲空间上双拉普拉斯算子的尖锐 Hardy-Adams 不等式

我们在四维双曲空间 $\mathbb{B}^{4}$ 上建立了尖锐的 Hardy-Adams 不等式。即，我们将证明对于任意 $\alpha>0$，存在常数 $C_{\alpha}>0$，使得对于任何满足 $\int_{\mathbb{B}^{4}}\left(-\Delta_{\mathbb{H}}-\frac{9}{4}\right)(-\Delta_{\mathbb{H}}+\alpha)u\cdot u dV\leq1$ 的 $u\in C^{\infty}_{0}(\mathbb{B}^{4})$，有 $$\int_{\mathbb{B}^{4}}(e^{32\pi^{2} u^{2}}-1-32\pi^{2} u^{2})dV=16\int_{\mathbb{B}^{4}}\frac{e^{32\pi^{2} u^{2}}-1-32\pi^{2} u^{2}}{(1-|x|^{2})^{4}}dx\leq C_{\alpha}.$$ 作为应用，我们得到了双曲空间 $\mathbb{B}^{4}$ 上一个加强的 Adams 不等式，以及一个同时改进经典 Adams 不等式和 Hardy 不等式的不等式。后一个不等式秉承了 Wang 和 Ye [37] 在二维圆盘上以及作者 [26] 在任意凸平面区域上给出的 Hardy-Trudinger-Moser 不等式的精神。分数阶拉普拉斯算子、傅里叶变换以及双曲空间和对称空间上的 Plancherel 公式等工具在我们的工作中发挥了重要作用。