Heisenberg 群中半空间的锐 fractional Hardy 不等式

本文建立了以下分数 Hardy 不等式 $$C\int_{\mathbb{H}^n_+}\frac{|f(\xi)|^p}{x_1^{sp+\alpha}}d\xi\leq \int_{\mathbb{H}^n}\int_{\mathbb{H}^n}\frac{|f(\xi)-f(\xi')|^p}{d({\xi}^{-1}\circ \xi')^{Q+sp}|z'-z|^\alpha}d\xi'd\xi,\ \ \forall f\in C_c^{\infty}(\mathbb{H}^n_+)$$ 其中，半空间 $\mathbb{H}^n_+=\{\xi=(x,y,t)=(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n)\in\mathbb{H}^n:x_1>0\}$ 定义在 Heisenberg 群 $\mathbb{H}^n$ 中，无需对参数作任何限制，并计算了相应的锐常数。此前我们在合作研究中建立了该半空间的一个变种 Hardy 不等式，但需满足某些参数限制。然而，该文中所有积分均在半空间上进行，而本文的半范数是取在整个 $\mathbb{H}^n$ 上。尽管该不等式对 $sp+\alpha$ 的所有数值均成立，但我们仅能在 $sp+\alpha>1$ 时计算相应的锐常数。