Heisenberg 群中的 Hardy 空间与拟共形映射

我们在第一 Heisenberg 群 $\mathbb{H}^1$ 的 Korányi 单位球 $B$ 上,为拟共形映射定义 Hardy 空间 $H^p$,$0<p<\infty$。我们的定义用 Korányi 与 Reimann,以及 Balogh 与 Tyson 引入的 Heisenberg 极坐标表述。首先,我们证明存在 $p_0(K)>0$,使得每个 $K$-拟共形映射 $f:B \to f(B) \subset \mathbb{H}^1$ 对所有 $0<p<p_0(K)$ 都属于 $H^p$。其次,我们给出拟共形映射 $f$ 属于 $H^p$ 的两个等价条件,一个用 $f$ 的径向极限,另一个用 $f$ 的非切向极大函数。作为一个应用,我们通过 $B$ 上拟共形映射及其径向极限的积分不等式刻画了 $B$ 上的 Carleson 测度。因此,我们的论文将 Astala 与 Koskela、Jerison 与 Weitsman、Nolder 与 Zinsmeister 从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{H}^1$ 的结果作了推广。$\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{H}^1$ 中证明的一个关键区别在于 Korányi 单位球面上两个特征点导致的非各向同性性质。