具有可数多个奇点的反平方势的哈代不等式

对于形如 $V=\sum_{k\in \mathbf{Z}}\frac{1}{|x-a_k|^2}$ 的具有可数多个奇点的势，哈代不等式（HI）并非平凡问题。原则上，奇点极越多，哈代常数越小：众所周知，在所有关于有限个奇点 HI 的现有结果中，最佳常数随着奇点个数 $n$ 趋于无穷而收敛到 0。在本注记中，我们针对定义在 $\mathbf{R}^d$ 中固定半径 $R>0$ 的右柱体上的上述势 $V$（其奇点 \{a_k\}_{k\in \mathbf{Z} 沿柱体轴线均匀分布）给出一个非平凡 HI 的例子。对此例我们证明哈代常数的上界为 $(d-2)^2/4$，即 $\mathbf{R}^d$ 中对应单一奇点势的经典哈代常数。我们还证明了哈代常数的正下界，由此可推得当 $R\to 0$ 时哈代常数的渐近行为与 $(d-2)^2/4$ 一致。主要结果的证明基于采用 Allegretto 与 Huang 的一个优美恒等式（文献 [1] 中定理 1.1、2.1），并选取特别合适的检验函数。