具有全局基本解的亚椭圆算子的 Hardy 不等式及其在唯一延拓中的应用

这是 Stefano Biagi 的博士论文（导师：A. Bonfiglioli 教授）中的一章。我们概述已有结果，表明可以将经典 Hardy 不等式推广到更一般的线性偏微分算子（以下简称 PDOs），其可能退化椭圆，具有以下拟散度形式 $$\mathcal{L} = \frac{1}{w(x)}\sum_{i = 1}^N\frac{\partial}{\partial x_i} \left(\sum_{j = 1}^Nw(x)a_{ij}(x)\frac{\partial}{\partial x_j}\right), \quad x \in \mathbb{R}^N,$$ 其中 $w \in C^{\infty}(\mathbb{R}^N,\mathbb{R})$ 是定义于整个 $\mathbb{R}^N$ 上的（光滑且）严格正函数，$A(x) := \begin{pmatrix}a_{ij}(x) \end{pmatrix}$ 是具有实 $C^{\infty}$ 元素的对称半正定 $N\times N$ 矩阵。由该不等式，已推导出方程 $$-\mathcal{L} u + Vu = 0$$ 解的唯一延拓结果，其中 $\mathcal{L}$ 是齐性李群 $\mathbb{G}$ 上的左不变齐性 PDO，$V$ 是定义于 $\mathbb{G}$ 上且在 $\mathbb{G}\setminus\{0\}$ 上连续的实值函数。