加权离散 Hardy 不等式的一个应用

在 1925 年发表的一篇笔记中，G. H. Hardy 给出了不等式 \begin{equation*} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k \right)^p \leq \left(\frac{p}{p-1}\right)^p \sum_{n=1}^\infty a_n^p, \end{equation*} 对任意非负序列 $\{a_n\}_{n \geq 1}$ 及 $p>1$ 成立。该不等式在文献中被称为经典离散 Hardy 不等式。它已被广泛研究，并出现了若干应用与新版本。本文中，我们利用该不等式加权版本的一个刻画，给出在某平面不规则域上加权 Sobolev 空间中微分方程 ${\rm div}\,{\bf u}=f$ 解存在性的一个充分条件。该方程的可解性对于 Stokes 方程的分析至关重要。证明源于基于函数某种分解的局部到全局论证，该分解本身亦因其在 Sobolev 空间其他不等式或相关结果（如 Korn 不等式）中的应用而具意义。