度量测度空间上的 Hardy 不等式，IV：$p=1$ 情形

本文研究具有极分解的度量测度空间上在 $p=1$ 与 $1 \leq q <\infty$ 情形下的双权 Hardy 不等式。该结果补充了文献 \cite{RV} 中在 $1< p\le q<\infty$ 情形下得到的 Hardy 不等式。$p=1$ 情形需要不同的论证，且不能作为 $p>1$ 时已知不等式的极限得到。作为副产品，我们还得到了所建立不等式的最佳常数。我们给出了在齐次 Lie 群、双曲空间与 Cartan-Hadamard 流形上针对 $p=1$ 与 $1\le q<\infty$ 情形的新加权 Hardy 不等式的例子。