Leray–Adams 不等式

本文中，我们在包含原点的 $\mathbb R^{4}$ 中有界域 $\Omega$ 上建立了如下 Leray–Adams 型不等式：$$\sup_{u\in C_0^\infty(\Omega), \tilde I_4[u,\Omega,R] \leq 1} \int_\Omega \exp\left(c\left( \frac{|u|}{E_2^{\beta}\left(\frac{|x|}R\right)}\right)^2\right) dx \leq C |\Omega|$$ 对某个常数 $c >0$ 与 $C >0$ 成立，其中 $\beta\geq 1$，$R \geq \sup_{x\in \Omega} |x|$，$\tilde I_4[u,\Omega,R]:= \int_\Omega |\Delta u|^2 dx - \int_\Omega \frac{|u|^2}{|x|^{4} E_1^2\left(\frac{|x|}R\right)} dx,$ 且 $E_1(t) = 1-\ln t$，$E_2(t) = \ln (eE_1(t))$ 对 $t \in (0,1]$。这将 Psaradakis 与 Spector \cite{PS2015} 以及 Mallick 与 Tintarev \cite{MT2018} 最近建立的 Leray–Trudinger 不等式推广到拉普拉斯算子的情形。在更高维或更高阶导数的情形，我们证明了 $\mathbb R^n$ 中球 $B_r$（以原点为中心、半径 $r >0$）上径向函数的 Leray–Adams 型不等式。