Klein-Gordon 算子的 Berezin-Li-Yau 型不等式的一个改进

在本文中，我们改进了 [E. M. Harrell II and S. Yildirim Yolcu, Eigenvalue inequalities for Klein-Gordon Operators, J. Funct. Analysis, 256(12) (2009) 3977-3995] 中关于 $\sum_{j=1}^k\beta_j$ 的下界（一个 Berezin-Li-Yau 型不等式）。这里 $\beta_j$ 表示 Klein-Gordon 哈密顿量 $H_{0,\Omega}=|p|$ 限制在有界集 $\Omega\subset {\mathbb R}^n$ 上的第 $j$ 个特征值。$H_{0,\Omega}$ 也可描述为在 $\partial \Omega$ 上具有杀死条件的 Cauchy 随机过程的生成元（参见 [R. Banuelos, T. Kulczycki, Eigenvalue gaps for the Cauchy process and a Poincare inequality, J. Funct. Anal. 211 (2) (2004) 355-423]; [R. Banuelos, T. Kulczycki, The Cauchy process and the Steklov problem, J. Funct. Anal. 234 (2006) 199-225]）。为此，我们改编了 Melas 的证明（[A. D. Melas, A lower bound for sums of eigenvalues of the Laplacian, Proceedings of the American Mathematical Society, 131(2) (2002) 631-636]），该证明改进了 $\sum_{j=1}^k\lambda_j$ 的界估计，其中 $\lambda_j$ 表示 ${\mathbb R}^d$ 中有界域上 Dirichlet Laplacian 的第 $j$ 个特征值。