改进的 Berezin-Li-Yau 不等式的几何版本

我们研究 $\R^d$（$d \geq 2$）中任意有界开集上 Dirichlet 拉普拉斯算子的特征值。特别地，我们导出了阶数 $\sigma \geq 3/2$ 的 Riesz 均值的上界，该上界通过一个负的第二项改进了精确的 Berezin 不等式。该余项依赖于集合边界的几何性质，并反映了半经典极限下正确的增长阶数。在某些几何条件下，这些结果蕴含了单个特征值的新下界，从而改进了 Li-Yau 不等式。