Riesz 位势与分数阶 Laplacian 中的超定问题

本文的主要目的是解决 W. Reichel 提出的两个关于用 Riesz 位势和分数阶 Laplacian 刻画球的公开问题。对于有界 $C^1$ 域 $\Omega\subset \mathbb R^N$，我们考虑 $2\leq \alpha \not =N$ 时的 Riesz 位势 $$u(x)=\int_{\Omega}\frac{1}{|x-y|^{N-\alpha}} \,dy$$。我们证明了 $u=$ 常数在 $\Omega$ 的边界上成立当且仅当 $\Omega$ 是一个球。在 $\alpha=N$ 的情况下，对对数位势建立了类似的刻画。我们还证明了这种刻画对于对数 Riesz 位势也成立。这为分数阶 Laplacian 的超定问题提供了一种刻画。这些结果在一定程度上回答了 W. Reichel 的两个公开问题。