什么是分数阶拉普拉斯算子？

R^d 中的分数阶拉普拉斯算子具有多种等价刻画。此外，在有界域中，边界条件必须以数学上不同的方式纳入这些刻画，且目前文献中对于给定应用而言有界域中哪种分数阶拉普拉斯算子的定义最为合适尚无共识。例如，Riesz（或积分）定义承认一种非局部边界条件，其中为计算函数 u(x) 的分数阶拉普拉斯算子，必须在域的整个外部预先给定其值。相反，谱定义仅需标准的局部边界条件。这些差异等促使我们发问：“什么是分数阶拉普拉斯算子？”我们比较了几种常用的分数阶拉普拉斯算子定义（Riesz、谱、方向以及基于视界的 nonlocal 定义），并采用理论联合计算的方法，通过研究在有界域上表述的相关分数阶 Poisson 方程的解来考察它们的不同特征。本工作中，我们提供了新的数值方法以及关于离散化分数阶拉普拉斯算子的前沿方法的自包含讨论，并给出了关于采用这些不同定义所列方程解在特征、正则性与边界行为方面差异的新结果。我们给出随机解释并论证了某些近期表述之间的等价性。通过我们的工作，旨在进一步吸引研究界关注开放问题，并协助实践者在面对多样应用中的反常输运时，为其数学模型识别最合适的定义与计算方法。