fractional 世界的温柔邀请

本书旨在作为 selected topics 在 fractional 世界中的自包含介绍，特别关注于由分数拉普拉斯算子驱动的方程中出现的方面。本工作的范围并不旨在穷尽或全面覆盖。我们选择了我们认为会吸引正在踏上分数分析之旅的读者的主题。它仅需要基本微积分和基本测度论的基本理解。在第 1 章中，我们介绍研究的首要对象，即分数拉普拉斯算子。这种算子出现在多种背景中，引发多种定义和观点，其中许多我们探索，以及一些关键恒等式。在局部分析与非局部分析之间的一个显著区别是后者，显式计算往往不实用或不可能。总的来说，有一些幸运的例外，这些例外收录在第 2 章，提供了有用且教育性的例子。第 3 章介绍了重要的 Liouville 类型结果的一个方面。本书的大部分内容致力于 Lebesgue 空间中解的规律性理论。第 4 章使用 Riesz 和 Bessel 势分析来检视全局解，捕捉低频和高频对平滑性、衰减和振荡的影响。这些空间也足够灵活，以便作为副产品，为更常用的分数 Sobolev 空间提供坚实的规律性理论。在第 5 章中，我们推导了在有界域内求解的相应内部规律性理论，使用适当的截断和局部化技术。此外，技术附录包括关键证明中使用的辅助结果。