有界变差函数 Poincaré-Sobolev 不等式的极值函数

设 $\Omega \subset \R^n$ 是一个光滑有界区域，$q \in (0, \frac{n}{n-1})$，我们考虑 Poincaré-Sobolev 不等式 $$c \Bigl(\int_{\Omega} \abs{u}^\frac{n}{n-1}\Bigr)^{1-\frac{1}{n}} \le \int_{\Omega} \abs{Du},$$ 对于每个满足 $\int_{\Omega} \abs{u}^{q-1} u = 0$ 的 $u \in \mathrm{BV}(\Omega)$。我们证明最优常数是可以达到的。我们还考虑在 $n$ 维紧致黎曼流形 $M$ 上的相同不等式。当 $n \ge 3$ 且标量曲率在某点为正时，最优常数可以达到。在 $n \ge 2$ 的情况下，我们需要最大标量曲率满足某个严格不等式。