关于Moser-Onofri-Aubin不等式的最佳常数

设$S^2$为二维单位球面，并设$J_\alpha$为定义在Sobolev空间$H^{1,2}(S^2)$上的非线性泛函：$$J_\alpha(u) = \frac{\alpha}{4}\int_{S^2}|\nabla u|^2 d\omega + \int_{S^2} u d\omega -\ln \int_{S^2} e^{u} d\omega,$$ 其中$d\omega$表示$S^2$上的Lebesgue测度，归一化使得$\int_{S^2} d\omega = 1$。Onofri已经证明，当$\alpha \geq 1$时，$J_\alpha$在$H^1(S^2)$上非负。在本注记中，我们证明如果$J_\alpha$限制在那些满足Aubin条件的$u\in H^1(S^2)$上：对于所有$1\leq j\leq 3$，有$\int_{S^2}e^u x_j dw=0$，那么当$\alpha \geq {2/3}-\epsilon_0$（对某个$\epsilon_0>0$）时，相同的不等式仍然成立（即$J_\alpha (u)\geq0$）。Chang-Yang提出的关于这对所有$\alpha \geq {1/2}$是否仍然成立的问题仍然悬而未决。