临界Sobolev空间中函数的John-Nirenberg不等式的一个改进

已知临界指数Sobolev空间中的函数嵌入到有界平均振荡函数空间，因此满足John-Nirenberg不等式和相应的指数可积性估计。虽然这些不等式对于一般的有界平均振荡函数是最优的，但本文的主要结果是对临界Sobolev空间类中函数的改进。具体地，我们证明了不等式 $$\mathcal{H}^{\beta}_{\infty}(\{x\in \Omega:|I_\alpha f(x)|>t\})\leq Ce^{-ct^{q'}}$$ 对所有满足 $\|f\|_{L^{N/\alpha,q}(\Omega)}\leq 1$ 和任意 $\beta \in (0,N]$ 成立，其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$，$\mathcal{H}^{\beta}_{\infty}$ 是Hausdorff容量，$L^{N/\alpha,q}(\Omega)$ 是Lorentz空间，$q \in (1,\infty]$，$q'=q/(q-1)$ 是 $q$ 的Hölder共轭，$I_\alpha f$ 表示 $f$ 的 $\alpha$ 阶Riesz位势，$\alpha \in (0,N)$。