实双曲空间上的索伯列夫不等式与具有复势的薛定谔算子的本征值界

在本文中，我们证明了实双曲空间 $\mathbb{H}^n$ 上预解式 $(\Delta - \alpha)^{-1}$ 作为从 $L^q$ 到 $L^{q'}$ 映射的一致估计，其中 $\alpha \in \mathbb{C}\setminus [(n - 1)^2/4, \infty)$ 且 $2n/(n + 2) \leq q < 2$。与欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 上的类似结果相比，此处指数 $q$ 可任意接近 $2$。这一显著改进源于双曲空间的两个非欧氏特征：Kunze-Stein 现象与谱测度的指数衰减。此外，我们将该结果应用于研究具有复势的薛定谔算子的本征值界。改进的索伯列夫不等式导致了 $\mathbb{H}^n$ 上比 $\mathbb{R}^n$ 上更好的长程本征值界。