紧流形上 Laplace-Beltrami 算子的一致 Sobolev 预解式估计

本文继续研究维数 $n\geq3$ 的紧流形 $M$ 上 Laplace-Beltrami 算子 $\Delta_g$ 的预解式估计。在 Sobolev 线 $1/p-1/q=2/n$ 上，我们证明了当 $(p,q)$ 位于容许范围 $p\leq2(n+1)/(n+3)$ 且 $q\geq2(n+1)/(n-1)$ 内，且 $\zeta$ 位于开口向右的抛物线和以原点为中心的小圆盘之外时，预解式 $(\Delta_g+\zeta)^{-1}$ 从 $L^p$ 到 $L^q$ 是一致有界的。这自然地推广了 \cite{Kenig} 和 \cite{bssy} 中的先前结果，后者仅处理了 $p=2n/(n+2), q=2n/(n-2)$ 的特殊情况。利用 $L^p$ 和 $L^q$ 之间的收缩谱估计，我们还表明，当 $(p,q)$ 位于容许范围内部时，对于配备非正截面曲率黎曼度量的流形，可以在抛物线区域上获得对数改进；对于平坦环面，则可获得依赖于指数 $(p,q)$ 的幂次改进。后者因此部分改进了 Shen 在 \cite{Shen} 中关于环面上 $L^p\to L^2$ 一致预解式估计的工作。与 \cite{bssy} 中证明的 $(p,q)=(2n/(n+2),2n/(n-2))$ 情况类似，当 $(p,q)$ 现在位于容许范围内时，抛物线区域在圆球面 $S^n$ 上也是最优的。然而，我们可以提出疑问：容许范围是否是尖锐的，即它是否是 Sobolev 线上唯一可能的范围，使得紧流形对于位于抛物线之外的 $\zeta$ 具有一致预解式估计。