Lamé算子的预解估计与Carleman估计的失效

本文考虑Lamé算子$-\Delta^\ast$，并研究其预解估计、一致Sobolev估计与Carleman估计。首先，我们对可容许的$p,q$获得了$-\Delta^\ast$的尖锐$L^p$--$L^q$预解估计。这推广了Barcel\'o等人\cite{BFPRV}与Cossetti \cite{Co19}所得的特殊情形$q=\frac p{p-1}$。其次，我们证明$-\Delta^\ast$的一致Sobolev估计与Carleman估计失效。为此我们直接分析预解的傅里叶乘子。这使我们不仅能证明预解的上界也能证明下界，从而得到$-\Delta^\ast$预解的尖锐$L^p$--$L^q$界。引人注目的是，相关的一致Sobolev与Carleman估计对Lamé算子$-\Delta^\ast$竟为假，尽管$-\Delta^\ast$的一致预解估计在一定的$p, q$范围内成立。这与Kenig、Ruiz和Sogge \cite{KRS87}关于拉普拉斯算子$\Delta$的经典结果形成对比，其中一致预解估计在证明$\Delta$的一致Sobolev与Carleman估计中起关键作用。我们还利用$-\Delta^\ast$的尖锐$L^p$--$L^q$预解估计，描述了带复势$V$的$-\Delta^\ast+V$的$L^q$特征值的位置。