双拉普拉斯算子的谱不等式与预解估计

在有边界的紧黎曼流形上，我们证明了双拉普拉斯算子在所谓“夹紧”边界条件（即同时齐次 Dirichlet 和 Neumann 条件）情形下的谱不等式。我们还证明了与这些边界条件相关的阻尼板半群生成元的预解估计。该谱不等式允许从流形的任意开子集观测该四阶椭圆算子的特征函数的有限和。此外，不等式中出现的常数随 exp(C$\mu$ 1/4) 增长，其中 $\mu$ 为和中出现的特征函数的最大特征值。这类不等式对拉普拉斯算子是已知的。作为一个应用，我们得到了一类高阶抛物方程的零能控性结果。该预解估计给出了板半群生成元在虚轴上的谱行为。这类估计在阻尼波半群情形是已知的。作为一个应用，我们推导了阻尼板方程具有对数型衰减的稳定化结果。谱不等式与预解估计的证明均基于推导与双拉普拉斯算子相关的椭圆算子的不同类型的 Carleman 估计：在内部及某些边界上。其中一个估计表现出损失一整阶导数。其证明需要引入适当的半经典演算和精细的微局部论证。