Carleman 估计及关联乘子算子的有界性

设 $P(D)$ 为拉普拉斯算子 $\Delta$ 或波动算子 $\square$。已知在 $p,q$ 的某一范围内如下类型的 Carleman 估计成立：$$\|e^{v\cdot x}u\|_{L^q(\mathbb{R}^d)} \le C\|e^{v\cdot x}P(D)u\|_{L^p(\mathbb{R}^d)}$$ 其中 $C$ 与 $v\in \mathbb{R}^d$ 无关。这些估计是 Kenig-Ruiz-Sogge \cite{KRS} 与 Jeong-Kwon-Lee \cite{JKL} 关于二阶微分算子的均匀 Sobolev 型估计的结果。对于具有非退化主部的二阶微分算子，均匀 Sobolev 型估计成立的 $p,q$ 范围已被完全刻画。但此前 Carleman 估计成立的最优 $p,q$ 范围尚未明确。当 $P(D)=\Delta$、$\square$ 或热算子时，我们获得了上述类型 Carleman 估计可取 $p,q$ 的完整刻画。为此，我们研究了相关乘子算子的 $L^p$-$L^q$ 有界性。作为应用，我们还得到了一些唯一延拓结果。