$L^2\times L^2 \to L^1$ 有界性判据

我们得到了一类双线性算子的尖锐 $L^2\times L^2 \to L^1$ 有界性判据，该类算子与由给定函数的二进膨胀的符号和给出的乘子相关联，判据用该函数的 $L^q$ 可积性表示；确切地说，我们证明有界性成立当且仅当 $q<4$。我们讨论了这一结果在双线性粗糙奇异积分与双线性二进球极大函数方面的应用。我们的第二个结果是关于与具有 $L^\infty$ 导数的乘子相关联的双线性算子的一个最优 $L^2\times L^2\to L^1$ 有界性判据。该结果提供了第一个定理证明中的主要工具，并且同样用乘子的 $L^q$ 可积性表述。最优范围为 $q<4$，在 $L^1$ 上缺乏 Plancherel 恒等式的情况下，这应与经典线性乘子算子 $L^2\to L^2$ 有界性中的 $q=\infty$ 相比较。