$L^p$ 空间上的幺模双线性傅里叶乘子

本文研究了与形如 $m(\xi,\eta)=e^{i \phi(\xi-\eta)}$ 的幺模函数相关的双线性乘子算子的有界性性质。我们证明，若 $\phi$ 是 $C^1(\mathbb R^n)$ 实值非线性函数，则对于所有位于局部 $L^2-$范围之外并满足 Hölder 条件 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}$ 的指数 $p,q,r$，双线性乘子范数 $$\|e^{i\lambda \phi(\xi-\eta)}\|_{\mathcal M_{p,q,r}(\mathbb R^n)}\rightarrow \infty,~ \lambda \in \mathbb R,~ |\lambda|\rightarrow \infty.$$ 对于局部 $L^2-$范围内的指数，我们给出形如 $e^{i\phi(\xi-\eta)}$ 的幺模函数例子，其不产生双线性乘子。此外，我们还讨论了局部 $L^2-$范围外指数的双线性乘子的本质连续性性质。