关于 Orlicz 空间上双线性乘子的注记

设 $\Phi_1 , \Phi_2$ 和 $\Phi_3$ 为 Young 函数，并设 $L^{\Phi_1}(\mathbb{R})$、$L^{\Phi_2}(\mathbb{R})$ 和 $L^{\Phi_3}(\mathbb{R})$ 为相应的 Orlicz 空间。若定义在 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 上的函数 $m(\xi,\eta)$ 使得 $$B_m(f,g)(x)=\int_\mathbb{R} \int_\mathbb{R} \hat{f}(\xi) \hat{g}(\eta)m(\xi,\eta)e^{2\pi i (\xi+\eta) x}d\xi d\eta$$ 定义出自 $L^{\Phi_1}(\mathbb{R}) \times L^{\Phi_2}(\mathbb{R})$ 到 $L^{\Phi_3}(\mathbb{R})$ 的有界双线性算子，则称其为 $(\Phi_1,\Phi_2,\Phi_3)$ 型双线性乘子。我们用 $BM_{(\Phi_1,\Phi_2,\Phi_3)}(\mathbb{R})$ 表示所有 $(\Phi_1,\Phi_2,\Phi_3)$ 型双线性乘子的空间，并研究此类的一些性质。在三元组 $(\Phi_1,\Phi_2,\Phi_3)$ 的某些条件下，我们给出若干 $(\Phi_1,\Phi_2,\Phi_3)$ 型双线性乘子的例子。我们将聚焦于 $m(\xi,\eta)=M(\xi-\eta)$ 的情形，并得到该类中存在非平凡乘子时 $(\Phi_1,\Phi_2,\Phi_3)$ 需满足的必要条件。特别地，我们恢复了 Lebesgue 空间上的一些已知结果。