关于双线性平方傅里叶乘子算子及相关多线性平方函数

设$n\ge 1$，$\mathfrak{T}_{m}$为与符号$m$相关的双线性平方傅里叶乘子算子，定义为 $$\mathfrak{T}_{m}(f_1,f_2)(x) = \biggl( \int_{0}^\infty\Big|\int_{(\mathbb{R}^n)^2} e^{2\pi ix\cdot (\xi_1 +\xi_2) }m(t\xi_1,t\xi_2) \hat{f}_{1}(\xi_1)\hat{f}_{2}(\xi_2)d\xi_1 d\xi_2\Big|^2\frac{dt}{t } \biggr)^{\frac 12}.$$ 令$s$为整数且$s\in[n+1,2n]$，$p_0$为满足$2n/s\le p_0\le 2$的数。假设$\nu_{\vec{\omega}}=\prod_{i=1}^2\omega_i^{p/ p_i}$，且每个$\omega_i$是$\mathbb{R}^n$上的非负函数。本文中，我们证明若$p_0< p_1, p_2<\infty$且$1/p=1/p_1+ 1/p_2$，则$\mathfrak{T}_{m}$从$L^{p_1}(\omega_1)\times L^{p_2}(\omega_2)$到$L^p(\nu_{\vec{\omega}})$有界。此外，若$p_0>2n/s$且$p_1=p_0$或$p_2=p_0$，则$\mathfrak{T}_{m}$从$L^{p_1}(\omega_1)\times L^{p_2}(\omega_2)$到$L^{p,\infty}(\nu_{\vec{\omega}})$有界。还给出了$\mathfrak{T}_{m}$交换子的加权端点$L\log L$型估计和强估计。这些是通过考虑与温和正则核相关的某些多线性平方函数的有界性，并实质性改进先前使用的一些基本引理而完成的。