小Lebesgue空间的双线性乘子

设$G$为具有Haar测度$\lambda$的局部紧阿贝尔度量群，$\hat{G}$为其对偶群且具有Haar测度$\mu$，且$\lambda ( G)$有限。假设$~1<p_{i}<\infty$，$p_{i}^{\prime }=\frac{ p_{i}}{p_{i}-1}$，$( i=1,2,3)$且$\theta \geq 0$。令$L^{(p_{i}^{\prime },\theta }( G)$，$( i=1,2,3)$为小Lebesgue空间。定义在$\hat{G}\times \hat{G}$上的有界可测函数$m( \xi ,\eta )$若与符号$m$相关的双线性算子$B_{m}$，\begin{equation} B_{m}(f,g) ( x) =\sum_{s\in \hat{G} }\sum_{t\in \hat{G}}\hat{f}(s) \hat{g}(t) m(s,t) \langle s+t,x\rangle \end{equation}定义了从$L^{(p_{1}^{\prime },\theta }( G) \times L^{(p_{2}^{\prime },\theta }( G)$到$L^{(p_{3}^{\prime },\theta }(G)$的有界双线性算子，则称其为$G$上类型$[ (p_{1}^{\prime };(p_{2}^{\prime };(p_{3}^{\prime }] _{\theta }$的双线性乘子。我们用$BM_{\theta } [ (p_{1}^{\prime };(p_{2}^{\prime };(p_{3}^{\prime }]$表示所有类型$[ (p_{1}^{\prime };(p_{2}^{\prime };(p_{3}^{\prime }] _{\theta }$的双线性乘子空间。本文讨论了空间$BM_{\theta }[ (p_{1}^{\prime };(p_{2}^{\prime };(p_{3}^{\prime }]$的一些基本性质并给出双线性乘子的例子。