$H^1({\mathbb R})$ 上 $S^1$-有界 Fourier 乘子及半群的函数演算

设 $T\colon H^1({\mathbb R})\to H^1({\mathbb R})$ 为解析 Hardy 空间 $H^1({\mathbb R})\subset L^1({\mathbb R})$ 上的有界 Fourier 乘子，并设 $m\in L^\infty({\mathbb R}_+)$ 为其符号，即对所有 $h\in H^1({\mathbb R})$ 有 $\widehat{T(h)}=m\widehat{h}$。令 $S^1$ 为 $\ell^2$ 上所有迹类算子构成的 Banach 空间。我们证明 $T$ 容许有界张量扩张 $T\overline{\otimes} I_{S_1}\colon H^1({\mathbb R};S^1) \to H^1({\mathbb R};S^1)$ 当且仅当存在 Hilbert 空间 ${\mathcal H}$ 与两个函数 $\alpha, \beta \in L^\infty({\mathbb R}_+;{\mathcal H})$，使得对几乎处处的 $(s,t)\in{\mathbb R}_+^2$ 有 $m(s+t) = \langle\alpha(t),\beta(s)\rangle_{\mathcal H}$。此类 Fourier 乘子称为 $S^1$-有界的，并记 ${\mathcal M}_{S^1}(H^1({\mathbb R}))$ 为所有 $S^1$-有界 Fourier 乘子构成的 Banach 空间。接着我们分两步将这一结果应用于函数演算估计。首先我们引入 ${\mathbb C}_+ =\bigl\{z\in{\mathbb C}\, :\, {\rm Re}(z)>0\bigr\}$ 上由有界解析函数构成的新 Banach 代数 ${\mathcal A}_{0,S^1}({\mathbb C}_+)$，并证明其对偶空间与 ${\mathcal M}_{S^1}(H^1({\mathbb R}))$ 一致。其次，给定 Hilbert 空间上任意有界 $C_0$-半群 $(T_t)_{t\geq 0}$ 及任意 $b\in L^1({\mathbb R}_+)$，我们建立估计 $\bigl\Vert\int_0^\infty b(t) T_t\, dt\bigr\Vert\lesssim \Vert L_b\Vert_{{\mathcal A}_{0,S^1}({\mathbb R})}$，其中 $L_b$ 表示 $b$ 的 Laplace 变换。这改进了前两位作者近期得到的函数演算估计。