由半群相关的 Fock 表示产生的有界乘子代数

本文尝试借助 $C^*$-代数的乘子代数概念，引入由左可消半群 $\mathcal{S}$ 产生的 Fock 表示相关的“乘子代数”（记为 $M(\mathcal{S})$）。随后我们研究该乘子代数的基本性质与例子。为使乘子代数的定义有意义，我们建立关于乘子代数的两个关键结果。我们证明若 $\mathcal{S}$ 是左可消半群，则 $M(\mathcal{S})$ 是一个含单位元的 Banach 代数。在 $G$ 为群的考量下，我们证明 $M(G)$ 是一个 $C^*$-代数。我们说明当 $\mathcal{S}=\mathbb{Z}_{+}, \mathbb{Z}^2_{+}$ 时，相关的乘子代数 $M(\mathbb{Z}_{+}), M(\mathbb{Z}^2_+)$ 分别等同于 Hardy 代数 $H^{\infty}(\mathbb{D})$ 和 $H^{\infty}(\mathbb{D}^2)$。接着，我们讨论自由半群 $\mathcal{S}=\mathbb{F}^+_{n}$ 相关的乘子代数。我们清楚地表明，著名的非交换 Hardy 代数 $\mathbb{F}_{n}^{\infty}$（由 G. Popescu 引入并深入研究）与乘子代数 $M(\mathbb{F}_{n}^+)$ 等距同构。最后，利用算子空间技术，我们证明了一个有趣的结果： $M(\mathcal{S})$ 是一个算子代数（具体而言，得益于著名的 Blecher-Ruan-Sinclair 定理）。