Hardy 空间 H^1 的乘子与幂有界算子

我们研究函数空间 $\phi\colon \NN\to \CC$,使得存在一个 Hilbert 空间 $H$、一个 $B(H)$ 中的幂有界算子 $T$ 以及 $H$ 中的向量 $\xi,\eta$,满足 $$\phi(n) = < T^n\xi,\eta>.$$ 这意味着矩阵 $(\phi(i+j))_{i,j\ge 0}$ 是 $B(\ell_2)$ 的 Schur 乘子,或等价地属于空间 $(\ell_1 \buildrel {\vee}\over {\otimes} \ell_1)^*$。我们证明逆命题不成立,从而回答了 Peller [Pe] 提出的一个问题。我们的方法利用了一类我们称之为“平移有界”的 $H^1$ 的 Fourier 乘子的新类。我们证明存在一个 $\phi$,它是 $H^1$ 的“完全有界”乘子,或等价地 $(\phi(i+j))_{i,j\ge 0}$ 是 $B(\ell_2)$ 的有界 Schur 乘子,但它在 $H^1$ 上不是“平移有界”的。我们还给出了 $H^1$ 上“完全平移有界”乘子的一个刻画。