某些再生核Hilbert空间上的纯压缩乘子及其应用

Hilbert空间$\mathcal{H}$上的压缩$T$若序列$\lbrace T^{*n} \rbrace_{n}$在强算子拓扑下收敛于$0$，则称其为纯的。本文中，我们证明对于与$\mathcal{H}$上某些易处理的交换算子元组$X = (X_1,\ldots,X_n)$交换的压缩$T$，以下陈述等价：(i) $T$是$\mathcal{H}$上的纯压缩，(ii) 压缩$P_{\mathcal{W}(X)}T|_{\mathcal{W}(X)}$是纯压缩，其中$\mathcal{W}(X)$为对应于元组$X$的游荡子空间。若向量值再生核Hilbert空间（rkHs）上的算子值乘子$\Phi$的关联乘法算子$M_{\Phi}$是纯压缩，则称其为纯压缩的。利用上述结果，我们发现多圆盘$\mathbb{D}^n$以及$\mathbb{C}^n$中单位球$\mathbb{B}_n$上若干向量值rkHs的算子值乘子$\Phi(\textbf{z})$是纯压缩的，当且仅当$\Phi(0)$在底层Hilbert空间上是纯压缩。该列表包含Hardy、Bergman和Drury-Arveson空间。最后，我们给出了关于多圆盘的纯压缩乘子刻画的一些应用。